ऐसा वर्गमूल कैलकुलेटर जो करणी को सरल भी करता है
इस वर्गमूल कैलकुलेटर में कोई भी संख्या टाइप करें और √x तुरंत मिल जाता है, 0 से 50 तक जितने चाहें उतने दशमलव स्थानों तक। एक टैप में घनमूल या कोई भी n-वाँ मूल चुन सकते हैं। पूर्ण संख्याओं के लिए यह सरलतम करणी रूप (simplest radical form) भी देता है — √72 = 6√2, ∛54 = 3∛2 — और बताता है कि संख्या पूर्ण वर्ग है या पूर्ण घन।
आम कैलकुलेटर से अलग, यहाँ अंक सटीक पूर्णांक गणित से निकाले जाते हैं, इसलिए √2 के 50 दशमलव स्थान भी आख़िरी अंक तक सही होते हैं। हल में हर सरल की गई करणी के पीछे का अभाज्य गुणनखंड, जवाब की तरफ़ बढ़ते न्यूटन विधि के कुछ चक्कर, और सबसे पास के पूर्ण वर्गों की टेबल दिखती है — परीक्षा से पहले मन में मूल का अंदाज़ा लगाने के लिए बहुत काम की।
“वर्गमूल कैसे निकालते हैं”, “घनमूल कैसे निकालते हैं” या “वर्गमूल निकालने का सूत्र” खोज रहे हैं? नीचे अभाज्य गुणनखंड विधि और बिना कैलकुलेटर अंदाज़ा लगाने का तरीका उदाहरण के साथ है। 1 से 50 या 1 से 100 तक की वर्गमूल सारणी (वर्ग, घन, वर्गमूल और घनमूल) “सारणी” वाले मोड में बनाकर प्रिंट कर सकते हैं। कैलकुलेटर ब्राउज़र में ही चलता है, कोई ऐप इंस्टॉल नहीं करना पड़ता।
वर्गमूल और घनमूल कैलकुलेटर का इस्तेमाल कैसे करें
- प्रिंट करने लायक सूची के लिए वर्गमूल-घनमूल सारणी चुनें, रेंज (1–30, 1–50 या 500 पंक्तियों तक कोई भी), दशमलव स्थान और कॉलम तय करें, फिर प्रिंट करें या PDF या PNG डाउनलोड करें।
- वर्गमूल, घनमूल या n-वाँ मूल चुनें। n-वें मूल के लिए घात n डालें (जैसे 4 या 5)।
- संख्या टाइप करें। दशमलव, ऋणात्मक संख्याएँ और 1.5e8 जैसी वैज्ञानिक संकेतन वाली संख्याएँ भी चलती हैं।
- चुनें कि आपको 0 से 50 तक कितने दशमलव स्थान चाहिए।
- नतीजे वाले पैनल में मूल पढ़ें; जब करणी सरल हो सकती है तो नीचे की लाइन में सरलतम करणी रूप दिखता है।
- टाइल्स और हल में गुणनखंड, पूर्ण घात की जाँच और आस-पास के पूर्ण वर्ग देखें, फिर नतीजा कॉपी करें।
वर्गमूल और घनमूल कैलकुलेटर की खूबियाँ
50 स्थानों तक सटीक अंक
मूल फ़्लोटिंग पॉइंट की जगह बड़े पूर्णांकों (big integer) के गणित से निकाले जाते हैं, इसलिए लंबे जवाबों में राउंडिंग की गड़बड़ नहीं आती।
सरलतम करणी रूप
अभाज्य गुणनखंडों का हर पूरा समूह बाहर निकालता है: √180 = 6√5, ∛250 = 5∛2, ⁴√48 = 2⁴√3।
पूर्ण वर्ग और पूर्ण घन की जाँच
तुरंत बताता है कि मूल पूर्ण संख्या है या √2.25 = 1.5 जैसा सांत दशमलव।
ऋणात्मक संख्याएँ भी सही ढंग से
ऋणात्मक संख्या का विषम मूल वास्तविक होता है (∛−27 = −3); सम मूल काल्पनिक या सम्मिश्र नतीजा देता है (√−16 = 4i)।
तरीका भी सीखें
अभाज्य गुणनखंड, न्यूटन विधि के चक्कर, और अंदाज़ा लगाने के लिए पास की पूर्ण घातों की टेबल।
प्रिंट होने वाली सारणी
किसी भी रेंज के वर्ग, घन, वर्गमूल और घनमूल, पूर्ण संख्या वाले मूल हाइलाइट के साथ, A4 या Letter पर PDF, PNG या सीधा प्रिंट।
वर्गमूल को सरल कैसे करें (अभाज्य गुणनखंड विधि)
संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखें, फिर हर जोड़ी के लिए एक गुणनखंड मूल के बाहर निकालें। √72 के लिए: 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3। इसमें 2 की एक जोड़ी और 3 की एक जोड़ी है, इसलिए 2 × 3 = 6 बाहर आता है और एक 2 अंदर बचता है: √72 = 6√2। घनमूल के लिए तीन-तीन के समूह चाहिए: 54 = 2 × 3 × 3 × 3, इसलिए ∛54 = 3∛2।
जल्दी का तरीका है सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड पहचानना: 72 = 36 × 2, और √36 = 6। अभाज्य गुणनखंड वाली विधि हमेशा काम करती है, तब भी जब सबसे बड़ा वर्ग गुणनखंड आसानी से न दिखे।
बिना कैलकुलेटर वर्गमूल का अंदाज़ा कैसे लगाएँ
अपनी संख्या के दोनों तरफ़ के पूर्ण वर्ग ढूँढें। 72, 64 (8²) और 81 (9²) के बीच है, इसलिए √72, 8 और 9 के बीच है — 8.5 से थोड़ा कम, 8 की तरफ़ झुका हुआ। फिर बेबीलोनियन विधि से अंदाज़ा सुधारें: अपने अंदाज़े और (संख्या ÷ अंदाज़ा) का औसत लें। (8.5 + 72 ÷ 8.5) ÷ 2 = 8.4853, जो पहले ही चार दशमलव स्थानों तक सही है। यह x² − S = 0 के लिए न्यूटन विधि है, और यही हल वाले पैनल में दिखता है।
| n | n² | n³ | √n (6 दशमलव) |
|---|---|---|---|
| 2 | 4 | 8 | 1.414214 |
| 3 | 9 | 27 | 1.732051 |
| 5 | 25 | 125 | 2.236068 |
| 7 | 49 | 343 | 2.645751 |
| 10 | 100 | 1,000 | 3.162278 |
| 12 | 144 | 1,728 | 3.464102 |
| 15 | 225 | 3,375 | 3.872983 |
| 20 | 400 | 8,000 | 4.472136 |
मूल निकालते समय होने वाली आम गलतियाँ
- जोड़ को तोड़ देना। √(9 + 16) = √25 = 5 है, √9 + √16 = 7 नहीं। मूल गुणनफल पर बँटता है (√(4 × 9) = √4 × √9), लेकिन जोड़ पर कभी नहीं।
- निरपेक्ष मान भूल जाना। √(x²) = |x|, इसलिए √((−5)²) = 5 है, −5 नहीं।
- ऋणात्मक हल छोड़ देना। x² = 49 के दो हल हैं, x = 7 और x = −7, जबकि √49 चिह्न का मतलब सिर्फ़ मुख्य (धनात्मक) मूल 7 है।
- ऋणात्मक संख्याओं का वर्गमूल। √−16, −4 नहीं है; यह 4i है, एक काल्पनिक संख्या। घनमूल अलग है: ∛−8 = −2, क्योंकि (−2)³ = −8।
वर्गमूल और घनमूल कैलकुलेटर: अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
1728 का घनमूल कितना है?
12, क्योंकि 12 × 12 × 12 = 1,728 — घनमूल चुनें और 1728 टाइप करें, या वर्गमूल-घनमूल सारणी में पंक्ति 12 के n³ कॉलम में देखें। 30³ तक के बाक़ी पूर्ण घन 1–30 वाली सारणी में मिलते हैं।
किसी संख्या का वर्गमूल कैसे निकालते हैं?
वर्गमूल कैलकुलेटर में संख्या डालें, जवाब तुरंत आ जाता है। हाथ से निकालना हो तो पहले पास के पूर्ण वर्गों से अंदाज़ा लगाएँ, फिर बेबीलोनियन विधि से सुधारें: अपने अंदाज़े और (संख्या ÷ अंदाज़ा) का औसत लें, और यही दोहराते रहें।
वर्गमूल का सरलतम करणी रूप क्या होता है?
यह मूल को एक पूर्ण संख्या गुणा सबसे छोटे संभव मूल के रूप में लिखना है। √50 = √(25 × 2) = 5√2। कैलकुलेटर 10¹⁵ तक की किसी भी पूर्ण संख्या के लिए इसे अभाज्य गुणनखंड से निकालता है।
क्या ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल निकल सकता है?
वास्तविक संख्याओं में नहीं। नतीजा काल्पनिक होता है: √−25 = 5i, जहाँ i² = −1। ऋणात्मक संख्याओं के घनमूल और दूसरे विषम मूल वास्तविक होते हैं, इसलिए ∛−125 = −5।
घनमूल या n-वाँ मूल कैसे निकालते हैं?
घनमूल या n-वाँ मूल चुनें, n और संख्या डालें। x का n-वाँ मूल वह संख्या है जिसकी घात n लेने पर x मिलता है, इसलिए ⁵√32 = 2, क्योंकि 2⁵ = 32। यह x की घात 1/n लेने जैसा ही है, जो घातांक कैलकुलेटर (Exponent Calculator) भी कर सकता है।
कैसे पता करें कि कोई संख्या पूर्ण वर्ग है?
कोई पूर्ण संख्या तब पूर्ण वर्ग होती है जब उसके अभाज्य गुणनखंड में हर अभाज्य संख्या की घात सम हो: 144 = 2⁴ × 3², इसलिए √144 = 12। “पूर्ण वर्ग?” वाली टाइल यह सटीक जाँचती है, बहुत बड़ी संख्याओं के लिए भी।
मेरे कैलकुलेटर का आख़िरी अंक थोड़ा अलग क्यों आता है?
ज़्यादातर कैलकुलेटर लगभग 15 सार्थक अंकों वाली फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्याएँ इस्तेमाल करते हैं और आख़िरी अंक को राउंड कर देते हैं। यह टूल अंक सटीक निकालता है और आपके चुने हुए स्थान पर आधे को ऊपर राउंड करता है, इसलिए दिखाए गए अंक सही होते हैं। कर्ण निकालते समय वर्गमूल पाइथागोरस प्रमेय कैलकुलेटर में भी आते हैं।